Penjelasan Sederhana mengenai Program Linear - xplorealitas

www.explorealitas.com

Ad Placement

Ad Placement

Penjelasan Sederhana mengenai Program Linear

 

Program linear merupakan model matematika dalam mengalokasikan sumberdaya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimalkan biaya.  Dari pengertian tersebut, model program linear memiliki dua unsur utama yaitu (1) fungsi tujuan dan (2) fungsi kendala.

Fungsi tujuan adalah fungsi linear dari beberapa variabel keputusan, sedangkan pengertian fungsi kendala adalah fungsi yang mengendalikan nilai variabel keputusan. Pengertian dari variabel keputusan adalah variabel yang menyatakan keputusan-keputusan yang akan dibuat.  Variabel keputusan akan memberikan nilai fungsi tujuan yang paling menguntungkan.  Variabel keputusan harus ditentukan terlebih dahulu sebelum menentukan fungsi tujuan dan fungsi kendala.

Langkah pertama dalam membuat model program linear adalah merumuskan model matematikanya.  Program linear merupakan model masalah optimasi.  Untuk merumuskan model optimasi ke dalam bentul model program linear, menurut Ayu (1996) harus dipenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

a. Tujuan masalah harus jelas dan tegas,
b. Harus ada beberapa alternatif yang akan dibandingkan,
c. Adanya sumberdaya yang terbatas,
d. Fungsi tujuan dan kendala dapat dirumuskan secara kuantitatif,
e. Adanya keterkaitan peubah.

Selain syarat-syarat di atas, menurut Hillier dan Lieberman (2010), terdapat juga beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:

a. Asumsi proporsionalitas (proportionality)

b. Asumsi divisibilitas (divisibility),

c. Asumsi deterministik (deteministic/certainty),

d. Asumsi linearitas (linearity),

e. Asumsi additivitas (additivity)


Pemaparan dengan memberikan contoh, diharapkan akan lebih mudah dipahami untuk mengetahui darimana dan bagaimana program linear terbentuk.  Kerami (2014) menyampaikan bahwa dengan menurunkan terlebih dulu masalah yang dihadapi ke dalam model matematis, kita akan lebih memahami karakteristik dari program linear beserta pengertian-pengertian dasar di dalamnya.

Lebih lanjut, Kerami (2014) memberikan contoh dalam menurunkan program linear menjadi model matematis dari suatu perencanaan produksi perusahaan meubel sebagai berikut:

Suatu perusahaan meubel memproduksi 2 jenis produk yaitu kursi dan meja.  Kedua produk tersebut dibuat melalui proses perakitan dan proses akhir berupa penghalusan dan pengecatan.  
Dalam sehari, bagian perakitan mempunyai 9 jam kerja dan bagian proses akhir mempunyai 8 jam kerja.  
Untuk membuat sebuah kursi, diperlukan 1 jam perakitan dan 2 jam proses akhir.  Sementara itu, untuk membuat meja diperlukan waktu 3 jam untuk perakitan dan 1 jam untuk proses akhir.  
Apabila kedua jenis produk tersebut dijual, keuntungan yang akan diperoleh sebesar Rp 50.000 untuk setiap meja dan Rp 30.000 untuk setiap kursi.  Masalah yang dihadapi adalah:  menentukan produksi harian kursi dan meja dengan waktu kerja yang tersedia supaya menghasilkan keuntungan maksimum.

Penyelesaian dari contoh masalah di atas sebagai berikut:

Pertama, membuat tabel berupa hubungan antara keperluan dan ketersediaan bahan baku serta harga satuan penjualan.

Produk

Proses

Keuntungan  (Ribuan Rupiah)

Perakitan

Akhir

Kursi (x)

1

2

3

Meja (y)

3

1

5

Jam kerja tersedia

9

8

 

Kedua, melakukan proses identifikasi peubah keputusan dan masalah.  Dari contoh soal di atas, peubah keputusannya adalah banyaknya kursi dan banyaknya meja.  Dari contoh soal di atas, diketahui bahwa untuk membuat sebuah kursi diperlukan waktu 1 jam proses perakitan dan 2 jam proses akhir.  Secara matematis, bisa dikatakan sebagai berikut:

  • untuk membuat X buah kursi, diperlukan 1X (jam proses perakitan) dan 2X (jam proses akhir), dan 
  • untuk membuat Y buah meja, diperlukan 3Y (jam proses perakitan) dan 1Y (jam proses akhir)


Langkah selanjutnya, meninjau persyaratan dari beberapa segi:

(i) Kendala waktu kerja bagian proses perakitan

ketersediaan jam kerja yang digunakan untuk memproduksi x kursi dan y meja dalam proses perakitan adalah 1x + 3y (dalam jam), sedangkan waktu yang tersedia hanya 9 jam. Tentunya waktu yang digunakan tidak boleh melebihi waktu yang tersedia.  Dengan demikian, secara matematis bisa dirumuskan sebagai berikut:

1x + 3y ≤ 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   (1)

(ii) Kendala waktu kerja bagian proses akhir

Durasi waktu kerja untuk memproduksi x kursi dan y meja di bagian proses akhir dengan waktu kerja yang tidak lebih dari 8 jam, dapat dirumuskan secara matematikan sebagai berikut:

2x + 1y ≤ 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   (2)

(iii) Keuntungan

Contoh soal di atas menyatakan bahwa keuntungan yang diperoleh dari penjualan 1 buah kursi sebesar Rp 3 puluh ribu dan keuntungan yang diperolah dari penjualan 1 buah meja adalah Rp 5 puluh ribu rupiah.  Dengan demikian, secara matematika, total keuntungan yang diperoleh dengan menjual x buah kursi dan y buah meja adalah:

Max 3x + 5y  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   (3)

Ada pernyataan max (maksimum) karena yang dikehendaki adalah memaksimalkan total keuntungan.

(iv) Kepositifan banyaknya produksi

Permisalan di atas adalah x merupakan banyaknya kursi dan y menggambarkan banyaknya meja.  Tentunya tidak mungkin x  dan y tersebut bernilai negatif sehingga dapat dinyatakan bahwa:

x ≥ 0,   y ≥ 0   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   (4)


Dengan menggabungkan persamaan (1), (2), (3) dan (4), keseluruhan model matematis dari soal di atas dapat buat yaitu sebagai berikut:

Max Z = 3x + 5y
Dengan syarat:
  x + 3y ≤ 9                 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   (5)
2x + 1y ≤ 8
     x, y ≥ 0

Model persamaan (5) di atas dapat diidentifikasi sebagai berikut:

a. Fungsi f (x,y) = 3x + 5y disebut fungsi dari masalah.  Disebut demikian karena sesuai dengan tujuan penyelesaian pada soal di atas, yaitu memaksimalkan keuntungan.  Dengan demikian 3x + 5y merupakan keuntungan yang diperoleh dari penjualan x buah kursi dan y buah meja.

b. Pertidaksamaan x + 3y ≤ 9,  2x + y ≤ 8, x ≥ 0, dan y ≥ 0 disebut dengan persyaratan atau sering disebut juga kendala.

Pertidaksamaan x + 3y ≤ 9 dan  2x + y ≤ 8 disebut persyaratan/kendala utama (dalam konteks soal di atas adalah keterbatasan sumberdaya yaitu waktu yang tersedia), sedangkan x ≥ 0, dan y ≥ 0 disebut dengan persyaratan kepositifan.

Model matematis (5) di atas, dapat dinyatakan secara deskriptif sebagai berikut:

Tentukan x, y yang bernilai positif yang memenuhi persyaratan utama masalah (yaitu x + 3y ≤ 9 dan 2x + y ≤ 8) serta memaksimumkan fungsi objektif [yaitu f(x,y) pada (i)]

Selanjutnya, kita telaah satu persatu fungsi yang terlibat pada model matematis (5):

a. Fungsi objektif : 3x + 5y atau dapat ditulis sebagai f (x,y) = 3x + 5y, merupakan fungsi dalam dua peubah bebas x dan y.  Fungsi f  ini merupakan fungsi linear.

b. Persyaratan x + 3y ≤ 9 merupakan pertidaksamaan yang terbentuk dari persamaan x + 3y = 9 yang berupa persamaan linear.  Persamaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai:

g1 (x,y) = 9 dengan g1 (x,y) = x + 3y

Demikian pula persyaratan 2x + y ≤ 8 merupakan pertidaksamaan yang terbentuk dari persamaan 2x + y = 8 yang berupa persamaan linear sehingga dapat dinyatakan sebagai fungi berikut:

g2 (x,y) = 8 dengan g2 (x,y) = 2x + y

Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa g1 (x,y) dan g2 (x,y) merupakan fungsi linear.

Dari penjelasan di atas, dapat kita lihat bahwa semua fungsi yang membentuk model matematis (5) di atas, yaitu f (x, y), g1 (x, y) dan g2 (x, y) merupakan fungsi linear.  Oleh karena itu model matematis (5) di atas disebut dengan Model Pemrogaman Linear (Linear Programming Model) yang secara singkat disebut Model Program Linear (MLP).

Selain dapat ditulis dalam bentuk persamaan fungsi matematis, model linear dapat ditulis juga dalam bentuk matriks.  Model matematika (5) di atas, jika kita tulis dalam bentuk matriks aka n menjadi sebagai berikut:


Pada model matematis (5) di atas, banyaknya peubah bebas yang terlibat di dalamnya hanya 2 (dua) sehingga kita dapat menyatakannya dengan x dan y.  Apabila peubah bebas yang terlibat lebih dari dua, maka peubah bebasnya dapat dinyatakan dengan x1, x2, x3, … , xn dimana n merupakan banyaknya peubah bebas.


0 comments

Subscribe to Our Newsletter